已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的右焦點為F（1，0），左、右頂點分別A、B，其中B點的坐標(biāo)為（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過F的直線交C于M、N，記△AMB、△ANB的面積分別為S1、S2，求
S1
S2
的取值范圍．
分析：（I）由已知得a=2，c=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）令M（x1，y1），N（x2，y2），由方程組
3x2+4y2=12
x=my+1
，得（3m2+4）y2+6my-9=0，再利用韋達(dá)定理能推導(dǎo)出
S1
S2
的取值范圍．
解答：解：（I）由已知得a=2，c=1，
又在橢圓中有b2=a2-c2，
所以b2=3
所以橢圓C的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）令M（x1，y1），N（x2，y2），
由方程組
3x2+4y2=12
x=my+1
，
消x，得（3m2+4）y2+6my-9=0，
∴y1+y2=
-6m
3m2+4
，①
y1y2=
-9
3m2+4
，②
①2/②得
y1
y2
+
y2
y1
+2=
-4m2
3m2+4
，，令t=
y1
y2
，
則|t|+|
1
t
|=|t+
1
t
|=
10m2+8
3m2+4
=
10
3
-
16
3
3m2+4
，
∴2≤|t|+|
1
t
|＜
10
3
，即
1
3
＜|t|＜3．
∵
S△AMB
S△ANB
=
1
2
|AB||y1|
1
2
|AB||y2|
=|t|，
∴
S△AMB
S△ANB
∈(
1
3
，3)
點評：本題考查橢圓方程的求法，求
S1
S2
的取值范圍．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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