Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分別是BC、AP的中點，
（1）求三棱錐P-ABC的體積；
（2）若異面直線AB與ED所成角的大小為θ，求tanθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）三棱錐P-ABC中，由PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分別是BC、AP的中點，知AC=2，AB=2，由此能求出三棱錐P-ABC的體積．
（2）取AC中點F，連接DF，EF，則AB∥DF，所以∠EDF就是異面直線AB與ED所成的角θ，由此能求出tanθ．
解答：解：（1）三棱錐P-ABC中，
∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分別是BC、AP的中點，
∴AC=2，AB=2，…（2分）
所以，體積V_P-ABC=•PA=．…（5分）
（2）取AC中點F，連接DF，EF，則AB∥DF，
所以∠EDF就是異面直線AB與ED所成的角θ．…（7分）
由已知，AC=EA=AD=2，AB=2，PC=2，
∵AB⊥EF，∴DF⊥EF．…（10分）
在Rt△EFD中，DF=，EF=，
所以，tanθ=．…（12分）
點評：本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線所成角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．