Question

已知α，β∈[0，

π

4

]，則sin（α-β）+2sin（α+β）的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：設(shè)f（α）=sin（α-β）+2sin（α+β），α，β∈[0，

π

4

]可求f'（α）＞0，則f（α）單調(diào)遞增，最大值即為f（

π

4

），故可解得sin（α-β）+2sin（α+β）的最大值為

5

．

解答： 解：設(shè)f（α）=sin（α-β）+2sin（α+β），α，β∈[0，

π

4

]
f（α）=sinαcosβ-cosαsinβ+2sinαcosβ+2cosαsinβ=3sinαcosβ+cosαsinβ
f'（α）=3cosαcosβ-sinαsinβ=2cosαcosβ+cos（α+β）
∵α，β∈[0，

π

4

]，
∴f'（α）＞0，f（α）單調(diào)遞增
∴f（α）最大值=f（

π

4

）=3×

2

2

×cosβ+

2

2

×sinβ=

2

2

（3cosβ+sinβ）=

5

sin（β+t），其中tant=3，
∴sin（α-β）+2sin（α+β）的最大值為

5

．
故答案為：

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．