Question

如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=4，AA₁=3，AB⊥AD，∠A₁AB=∠A₁AD=．
（Ⅰ）求證：頂點A₁在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分線上；
（Ⅱ）求這個平行六面體的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）如圖利用Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA證明A₁M=A₁N，OM=ON，即證明頂點A₁在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分線上；
（Ⅱ）求出底面ABCD的面積，和高A₁O，然后可求幾何體的體積．
解答：解：（Ⅰ）證：連接A₁O，則A₁O⊥底面ABCD．
作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連接A₁M，A₁N
由三垂線定理得A₁M⊥AB，A₁N⊥AD∵∠A₁AM=∠A₁AN，
∴Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA∴A₁M=A₁N∴OM=ON．
∴點O在∠BAD的平分線上
（Ⅱ）∵AM=AA₁，
∴AO=AM．
又在職Rt△AOA₁中，A₁O²=AA₁²-AO²=，
∴A₁O=．
∴平行六面體的體積V=．
點評：本題考查棱柱的體積，以及射影問題，考查學生邏輯思維能力，是基礎題．