Question

設（a，b∈R，a＞0）。
(Ⅰ)當λ₁=1，λ₂=0時，設x₁，x₂是f(x)的兩個極值點，
①如果x₁＜1＜x₂＜2，求證：f′(-1)＞3；
②如果a≥2，且x₂-x₁=2且x∈(x₁，x₂)時，函數g(x)=f′(x)+2(x-x₂)的最小值為h(a)，求h(a)的最大值；
(Ⅱ)當λ₁=0，λ₂=1時，
①求函數y=f(x)-3(ln3+1)x的最小值；
②對于任意的實數a，b，c，當a+b+c=3時，求證：3^a·a+3^b·b+3^c·c≥9。

Answer 1

解：(Ⅰ)①證明：當λ₁=1，λ₂=0時，f′(x)=a²+（b-1）x+1，
x₁，x₂是方程f′(x)=0的兩個根，
由x₁＜1＜x₂＜2且a＞0得，即，
所以f′（-1）=a-b+2=-3(a+b)+(4a+2b-1)+3＞3。
②設f′（x）=a(x-x₁)(x-x₂)，所以，
易知，
所以，，
當且僅當時，即時取等號，
所以，，
易知當a=2時，h（a）有最大值，即。
(Ⅱ)①當時，，
所以，，，
容易知道，y′是單調增函數，且x=1是它的一個零點，即也是唯一的零點，
當x＞1時，y′＞0；當x＜1時，y′＜0，
故當x=1時，函數有最小值為-3ln3。
②由①知，
當x分別取a，b，c時有
，
三式相加即得。