Question

已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）圓x²+y²=1的一條切線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，問是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，得a²=4c²，再由c²=a²-b²，解得a=b，利用連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l滿足條件
①當(dāng)直線l的斜率不存在時，則方程為x=±1，可得不成立；
②斜率存在時，假設(shè)方程為y=kx+m，由直線與圓相切可得m²=1+k²，直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由，得a²=4c²，再由c²=a²-b²，解得a=b①．
由連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為，可知2ab=4②．
①②可得a=2，b=．
所以橢圓的方程為．
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l滿足條件
①當(dāng)直線l的斜率不存在時，則方程為x=±1
當(dāng)方程為x=1時，直線l與橢圓的交點(diǎn)為A（1，），B（1，-），則
同理方程為x=1時，也不成立；
②斜率存在時，假設(shè)方程為y=kx+m，由直線與圓相切可得m²=1+k²，
直線方程代入橢圓方程，消去y，可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
∴=x₁x₂+y₁y₂=+=＜0
綜上所述，直線l不存在．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．