如圖,四棱柱的底面
是平行四邊形,且
,
,
,
為
的中點,
平面
.
(Ⅰ)證明:平面平面
;
(Ⅱ)若,試求異面直線
與
所成角的余弦值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試求二面角的余弦值.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
解析試題分析:(Ⅰ)證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直問題,即某一個平面中的某條直線垂直于另一個平面.然后將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為線線垂直問題,即該直線與平面中的兩條相交直線垂直.在本題中,我們選取的是平面中的直線
,因為易知
,那么只需要在平面
再找一條直線垂直于
即可.因為底面
是平行四邊形,且
,
,
,
為
的中點,所以可以證
,從而得證;(Ⅱ)求異面直線所成角,一般將兩條異面直線平移到一個公共點上以便求出其夾角.這里,我們選擇將直線
平移至點
,所以需要取
的中點
,連接
,易知
即所求,將其放在
求出余弦值.(Ⅲ)二面角
的余弦值可以通過建立空間直角坐標系用向量來解決.其中前兩問又可以用向量來解決.第一問的面面垂直可以用兩個平面的法向量垂直來證明,即法向量的數(shù)量積為0,第二問用向量的夾角公式直接解出(需注意異面直線角的范圍).二面角同樣可以用兩個半平面的法向量的夾角解決,不過這里要注意所求的二面角是銳角還是鈍角,從而選擇是法向量夾角還是其補角為所求.
試題解析:(Ⅰ)依題意,,
所以是正三角形,
又
所以,
2分
因為平面
,
平面
,所以
3分
因為,所以
平面
4分
因為平面
,所以平面
平面
5分
(Ⅱ)取的中點
,連接
、
,連接
,則
所以是異面直線
與
所成的角 7分
因為,
,
所以,
,
所以 9分
解法2:以為原點,過
且垂直于
的直線為
軸,
所在直線為
軸,
所在直線為
軸建立右手空間直角坐標系.
設(shè)
則,
,
(Ⅰ)設(shè)平面的一個法向量為
,
則,取
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐的底面是直角梯形,
,
,
和
是兩個邊長為
的正三角形,
,
為
的中點,
為
的中點.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求證:平面
;
(Ⅲ)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,三棱錐中,
底面
,
,
,
為
的中點,點
在
上,且
.
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)求平面與平面
所成的二面角的平面角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知四邊形為梯形,
,
,四邊形
為矩形,且平面
平面
,
,點
為
的中點.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求證:平面平面
;
(Ⅲ)求三棱錐的體積.
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