Question

定義：兩個(gè)連續(xù)函數(shù)f（x），g（x）在閉區(qū)間[a，b]上都有意義，我們稱函數(shù)|f（x）-g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函數(shù)f（x）與g（x）在[a，b]上的絕對(duì)值差．
（1）求兩連續(xù)函數(shù)f（x）=2x³+x-5與g（x）=x³-2x²+5x-10在閉區(qū)間[-3，2]上的絕對(duì)差；
（2）若兩連續(xù)函數(shù)f（x）=ln（x²+1）+2k與g（x）=x+k在閉區(qū)間[-1，1]上絕對(duì)差為2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)定義，構(gòu)造新函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=x³+2x²-4x+5利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷出函數(shù)在閉區(qū)間[-3，2]上的最大值與最小值，取其絕對(duì)值較大者即為要求的絕對(duì)值差．
（2）本題已知絕對(duì)值差是2，故要利用導(dǎo)數(shù)求出F（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）+2k-x-k=ln（x²+1）-x+k的最大值與最小值，由于不知那一個(gè)的絕對(duì)值最大，故可以討論在那個(gè)端點(diǎn)處取到絕對(duì)值差，建立方程，求出參數(shù)的值即可．

解答：解：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=2x³+x-5-（x³-2x²+5x-10）=x³+2x²-4x+5
F'（x）=3x²+4x+4=（3x-2）（x+2）
令F'（x）=0得x=-2，或x=

2

3

令F'（x）＞0得x＞

2

3

或x＜-2，
令F'（x）＜0得-2＜x＜

2

3

故F（x）在（-3，-2）上增，在（-2，

2

3

）上減，在（

2

3

，2）增
又F（-3）=8，F(xiàn)（-2）=13，F(xiàn)（

2

3

）=

95

27

，F(xiàn)（2）=13
∴絕對(duì)差等于13
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）+2k-x-k=ln（x²+1）-x+k
∴F'（x）=

2x

x2+1

-1=

-(x-1)2

x2+1

≤0
F（x）閉區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，故F（1）≤F（x）≤F（-1）
故ln2+1+k=2或ln2-1+k=-2
解得k=1-ln2，或k=-1-ln2

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，本題出題方式新穎，組合思路巧妙，考查了對(duì)新定義的理解能力與利用導(dǎo)數(shù)求最值的能力．