Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+b有極值，且極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)分別為A、B，又線段AB（不含端點(diǎn)）與函數(shù)f（x）圖象交于點(diǎn)（1，0）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=2x²+4x-k，已知對任意x₁、x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）|≤|g（x₂）|，求k的取值．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)，令f′（x）=3x²+6ax可得x₁=0，x₂=-2a，求出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)一步求直線AB的方程，其經(jīng)過（1，0），且f（1）=0，聯(lián)立可得a，b
（2）依題意可把問題轉(zhuǎn)化為|f（x）|_max≤|g（x₂）|，x₁，x₂∈[-1，1]

解答：解：（1）f′（x）=3x²+6ax，
又f′（x）=0則x₁=0，x₂=-2a，而f（0）=b，
f（-2a）=4a³+b，則點(diǎn)A（0，b）B（-2a，4a³+b）
則直線AB方程為：

y-b

x-0

=

4a3+b-b

-2a-0

①而且（1，0）滿足①式，
則b=2a²，又f（1）=0則1+3a+b=0．
∴

a=-1 b=2

或

a=- 1 2 b= 1 2

，
而交點(diǎn)（1，0）在線段AB上，則a=-1，b=2為所求
（2）|x³-3x²+2|≤|2x²+4x-k|，x∈[-1，1]，則|f（x）|_max=2，
故2x²+4x-k≥2或2x²+4x-k≤-2，∴{k|k≤-4或k≥8}為所求．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：極值的求解，而在處理函數(shù)的恒成立問題時(shí)，常把其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在一閉區(qū)間上的最值問題，但要注意函數(shù)的在區(qū)間上“恒成立”與“存在x∈區(qū)間I”是兩個(gè)不同的問題，要注意區(qū)別．