設(shè)F（1，0），點M在x軸上，點P在y軸上，且．
（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲線C上的點，且成等差數(shù)列，當AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求點B的坐標．
【答案】分析：（1）根據(jù)，可得P為MN的中點，利用，可得，從而可得點N的軌跡C的方程；
（2）先根據(jù)拋物線的定義可知，利用成等差數(shù)列，可得x1+x3=2x2，確定AD的中垂線方程，利用AD的中點在直線上，即可求得點B的坐標．
解答：解：（1）設(shè)N（x，y），則由得P為MN的中點，
所以…（1分）
又，∴
∵，…（3分）
∴y2=4x（x≠0）…（5分）
（2）由（1）知F（1，0）為曲線C的焦點，由拋物線定義知拋物線上任一點P（x，y）到F的距離等于其到準線的距離，即…（6分）
故，
又成等差數(shù)列
∴x1+x3=2x2…（7分）
∵直線AD的斜率…（9分）
∴AD的中垂線方程為…（10分）
又AD的中點在直線上，代入上式，得…（11分）
故所求點B的坐標為（1，±2）…（12分）
點評：本題考查求軌跡方程，考查向量知識的運用，考查數(shù)列知識，解題的關(guān)鍵是用好向量，挖掘隱含，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F（1，0），點M在x軸上，點P在y軸上，且
MN
=2
MP
，
PM
•
PF
=0；
（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲線C上除去原點外的不同三點，且
|AF|
，
|BF|
，
|DF|
成等差數(shù)列，當線段AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求點B的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2004•河西區(qū)一模）設(shè)F（1，0），點M在x軸上，點P在y軸上，且
MN
=2
MP
，
PM
⊥
PF
．
（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲線C上的點，且|
AF
|，|
BF
|，|
DF
|成等差數(shù)列，當AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求點B的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：《2.3 拋物線》2013年同步練習(xí)1（解析版） 題型：填空題

設(shè)F（1，0），點M在x軸上，點P在y軸上，且=2，=0；
（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲線C上除去原點外的不同三點，且，，成等差數(shù)列，當線段AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求點B的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣西南寧二中高三3月模擬考試理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)F（1，0），點M在x軸上，點P在y軸上，且

（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；

（2）設(shè)是曲線C上的點，且成等差數(shù)列，當AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求點B的坐標。

【解析】本試題主要是對于圓錐曲線的綜合考查。首先求解軌跡方程，利用向量作為工具表示向量的坐標，進而達到關(guān)系式的求解。第二問中利用數(shù)列的知識和直線方程求解點的坐標。

 

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