Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1Cl中，M，N分別為CC1 ， A1B1的中點(diǎn)．
（I）證明：直線MN∥平面CAB1；
（II）BA=BC=BB1 ， CA=CB1 ， CA⊥CB1 ， ∠ABB1=60°，求平面AB1C和平面A1B1C1所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)O，連接CO，ON，

因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1是平行四邊形，所以是O是AB1的中點(diǎn)，

N是A1B1的中點(diǎn)，所以 ．

又因?yàn)镸是CC1的中點(diǎn)，所以 ．

所以CM ON，所以四邊形CMNO是平行四邊形，

所以MN∥CO．

又因?yàn)镸N平面CAB1，CO平面CAB1，

所以直線MN∥平面CAB1

（Ⅱ）因?yàn)锳B=BB1，所以平行四邊形ABB1A1是菱形，所以BA1⊥AB1．

又因?yàn)镃A=CB1，所以CO⊥AB1．

又CA⊥CB1，且O是AB1的中點(diǎn)，所以AO=CO．又因?yàn)锽A=BC，所以△BOC≌△BOA，

所以∠BOC=∠BOA，故OC⊥OB，從而OA，OB，OC兩兩垂直．

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OB1，OC所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，設(shè)OB=1，因?yàn)椤螦BB1=60°，BA=BB1，

所以△ABB1是等邊三角形，所以 ，B（1，0，0）， ， ．

因?yàn)镺A，OB，OC兩兩垂直，所以O(shè)B⊥平面AB1C，

所以 是平面AB1C的一個(gè)法向量；

設(shè) =（x，y，z）是平面A1B1C1的一個(gè)法向量，則 ，即 ，令 ，得 ，所以 = ，

所以 = = = ．

所以平面AB1C和平面A1B1C1所成的角（銳角）的余弦值為

【解析】（Ⅰ）設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)O，連接CO，ON，說(shuō)明O是AB1span>的中點(diǎn)，證明四邊形CMNO是平行四邊形，推出MN∥CO．然后證明直線MN∥平面CAB1．（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OB1，OC所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，設(shè)OB=1，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面AB1C的一個(gè)法向量；平面A1B1C1的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面AB1C和平面A1B1C1所成的角（銳角）的余弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．