Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x
（1）求f（x）的極值；
（2）若x＞-1，求證1-

1

x+1

≤ln(x+1)≤x；
（3）若函數(shù)g(x)=

f(x)+1+x

x

(x＞0)，當(dāng)g(x)＞

k

x+1

恒成立時(shí)，求整數(shù)k的最大值．

Answer 1

（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞）．
f′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=0時(shí)f（x）取得極大值f（0）=0，無(wú)極小值；
（2）由（1）知，x=0為f（x）唯一的極大值點(diǎn)，也即最大值點(diǎn)，
所以當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0，
所以ln（x+1）≤x；
令g（x）=ln（x+1）+

1

x+1

-1，則g′（x）=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
所以x=0是g（x）唯一的極小值點(diǎn)，也即最小值點(diǎn)，
所以g（x）≥g（0）=0，即ln（x+1）+

1

x+1

-1≥0，
所以ln（x+1）≥1-

1

x+1

．
綜上，x＞-1時(shí)，1-

1

x+1

≤ln(x+1)≤x；
（3）g（x）=

ln(x+1)+1

x

，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞

k

x+1

恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]．
又k為正整數(shù)．則k的最大值不大于3．
下面證明當(dāng)k=3時(shí)，f（x）＞

k

x+1

（x＞0）恒成立，即證明x＞0時(shí)（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x，
則g′（x）=ln（x+1）-1．
當(dāng)x＞e-1時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜e-1時(shí)，g′（x）＜0．
∴當(dāng)x=e-1時(shí)，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e＞0．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
因此正整數(shù)k的最大值為3．