Question

如圖，過拋物線y²＝2PX(P>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向準(zhǔn)線L作垂線，垂足分別為M₁、N₁   

 

(Ⅰ)求證：FM₁⊥FN₁:

(Ⅱ)記△FMM_1、、△FM₁N₁、△FN N₁的面積分別為S^{1、、}S^2、，S³，試判斷S²₂＝4S₁S₃是否成立，并證明你的結(jié)論。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

Answer 1

(Ⅰ) 略（Ⅱ）成立。

解析:

本小題主要考查拋物線的概念，拋物線的幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力（滿分13分）

（1）       證法1：由拋物線的定義得

 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

               2分

如圖，設(shè)準(zhǔn)線l與x的交點(diǎn)為

而

即

故

證法2：依題意，焦點(diǎn)為準(zhǔn)線l的方程為

設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為直線MN的方程為，則有

由  得

于是，，

，故

（Ⅱ）成立，證明如下：

證法1：設(shè)，則由拋物線的定義得

，于是

將與代入上式化簡可得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

，此式恒成立。

故成立。

證法2：如圖，設(shè)直線M的傾角為，

則由拋物線的定義得

于是

在和中，由余弦定理可得

由（I）的結(jié)論，得

即，得證。