Question

3．已知兩角和的余弦公式C_（α+β）：cos（α-β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
1．由C_（α+β）推導兩角和的正弦公式S_（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
2．已知cosα=-$\frac{4}{5}$，α∈（π，$\frac{3}{2}$π），tan β=-$\frac{1}{3}$，β∈（$\frac{π}{2}$，π），求sin（α+β）．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件以及誘導公式，證得 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系求得sinα、cos β、sin β的值，再利用兩角和的正弦公式求得sin（α+β）的值．

解答 解：1．∵cos（α-β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
∴sin（α+β）=cos[$\frac{π}{2}$-（α+β）]=cos（$\frac{π}{2}$-α）cosβ+sin（$\frac{π}{2}$-α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ，
即 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
故答案為：sinαcosβ+cosαsinβ．
2．∵cosα=-$\frac{4}{5}$，α∈（π，$\frac{3}{2}$π），∴sinα=-$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$，
∵tan β=$\frac{sinβ}{cosβ}$=-$\frac{1}{3}$，sin²β+cos²β=1，β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cos β=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sin β=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=-$\frac{3}{5}$•（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）+（-$\frac{4}{5}$）•$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題主要考查兩角和差的三角公式、誘導公式的應用，同角三角函數(shù)的基本關系，屬于基礎題．