Question

（2013•閘北區(qū)一模）設(shè)點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

2

+y2=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)．
（1）求數(shù)量積

PF1

•

PF2

的取值范圍；
（2）設(shè)過點(diǎn)F₁且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由P為橢圓C上任意一點(diǎn)，可得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍，再利用向量的數(shù)量積的計(jì)算公式即可求出；
（2）把直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用已知即可得出線段AB的垂直平分線NG的方程．

解答：解：（1）由題意，可求得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．              
設(shè)P（x，y），則有

F1P

=(x+1，y)，

F2P

=(x-1，y)，

PF1

•

PF2

=x2+y2-1=

1

2

x2，x∈[-

2

，

2

]，
∴

PF1

•

PF2

∈[0，1]．                                           
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，（*）       
∵直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F₁，∴方程*有兩個不相等的實(shí)根．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x0=-

2k2

2k2+1

，y0=

k

2k2+1

．                 
線段AB的垂直平分線NG的方程為y-y0=-

1

k

(x-x0)．             
令y=0，則x_G=x₀+ky₀=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

．
∵k≠0，∴-

1

2

＜xG＜0．即點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為(-

1

2

，0)．

點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的性質(zhì)、向量的數(shù)量積的計(jì)算公式、直線與橢圓相交問題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式、線段的垂直平分線的方程是解題的關(guān)鍵．