Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)=

-2x+b

2x+1+a

．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式-m2+(k+2)m-

3

2

＜f(x)＜m2+2km+k+

5

2

對(duì)一切實(shí)數(shù)x及m恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

Answer 1

（1）由于f（x）為R上的奇函數(shù)，故 f（0）=0，得 b=1…（1分）
則 f(x)=

1-2x

2x+1+a

由 f（-1）=-f（1）得

1- 1 2

1+a

=-

1-2

4+a

，解得 a=2
∴

a=2 b=1

…（4分）
（2）由（1）f(x)=

1-2x

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

由 2^x+1＞1知 0＜

1

2x+1

＜1
則 -

1

2

＜f(x)＜

1

2

…（6分）
要使-m2+(k+2)m-

3

2

＜f(x)＜m2+2km+k+

5

2

對(duì)一切實(shí)數(shù)x及m恒成立
則需且只需 

-m2+(k+2)m- 3 2 ≤- 1 2 m2+2km+k+ 5 2 ≥ 1 2

對(duì) m∈R恒成立
即 

m2-(k+2)m+1≥0 m2+2km+k+2≥0

對(duì) m∈R恒成立 …（8分）
只需 

△1=(k+2)2-4≤0 △2=(2k)2-4(k+2)≤0

解得-1≤k≤0…（9分）
（3）當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)g(x)=f(x)-x=-

1

2

+

1

2x+1

-x
顯然

1

2x+1

及-x均為減函數(shù)，故g（x）在（-1，1）上為減函數(shù) …（11分）
由于g（0）=0，故在（-1，1）內(nèi)g（x）=0有唯一根x=0
由于g（x）周期為2，由此有x∈（2k-1，2k+1）內(nèi)有唯 一根x=2k（k∈N）（1）…（12分）
綜合得x=2k（k∈N）為g（x）=0的根
又因?yàn)間（-1）=g（-1+2）=g（1）得-g（1）=g（1）
故g（1）=0，因此得g（2k+1）=0（k∈N）（2）…（13分）
綜合（1）（2）有g(shù)（x）=0的所有解為一切整數(shù) …（14分）