Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=4，AC⊥BC，若D是AB中點．
（Ⅰ）求證：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅱ）求異面直線AC₁和CD所成的角．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）連接BC₁交B₁C于點E，連結(jié)DE，由已知條件推導出DE∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面B₁CD．
（Ⅱ）由DE∥AC₁，得到∠CDE為異面直線AC₁和CD所成的角或其補角，由此能求出異面直線AC₁和CD所成的角的大小．

解答： （Ⅰ）證明：連接BC₁交B₁C于點E，連結(jié)DE，
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面都是矩形，
∴點E是BC₁的中點，…（2分）
又∵D是AB的中點，
∴DE∥AC₁，…（4分）
又∵DE⊆平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．…（7分）
（Ⅱ）解：∵DE∥AC₁，
∴∠CDE為異面直線AC₁和CD所成的角或其補角，…（8分）
∵AC=BC=AA₁=4，三角形ABC是直角三角形，…（8分）
∴AB=4

2

…（9分）
∴CD=

1

2

AB=2

2

，DE=

1

2

AC1=2

2

，CE=

1

2

CB1=2

2

，
∴三角形CDE是等邊三角形，…（12分）
∴∠CDE=

π

3

．
∴異面直線AC₁和CD所成的角為

π

3

．…（13分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．