【題目】已知過橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)與坐標(biāo)軸垂直的四條直線圍成的矩形（是第一象限內(nèi)的點(diǎn)）的面積為，且過橢圓的右焦點(diǎn)的傾斜角為的直線過點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）若射線與橢圓的交點(diǎn)分別為．當(dāng)它們的斜率之積為時(shí)，試問的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由．

【答案】（1）；（2）的面積為定值．

【解析】

（1）根據(jù)矩形面積、直線斜率和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用弦長(zhǎng)公式求得，點(diǎn)到直線公式求得點(diǎn)到直線距離，進(jìn)而表示出；根據(jù)，代入韋達(dá)定理形式化簡(jiǎn)可得，代入中化簡(jiǎn)得到；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得；綜合兩種情況可知為定值.

（1）由題意得：，，，.

直線的斜率，，

由得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）的面積為定值，理由如下：

設(shè)，，

①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為.

由得：，

則，即，

，，

，

又點(diǎn)到直線的距離，

.

，，

化簡(jiǎn)可得：，滿足，

；

②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，

且，可設(shè)，，

則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

此時(shí)；

綜上所述：的面積為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知一動(dòng)圓P與定圓外切，且與直線相切，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．

（1）求曲線E的方程；

（2）過點(diǎn)作直線l與曲線E交于不同的兩點(diǎn)B、C，設(shè)BC中點(diǎn)為Q，問：曲線E上是否存在一點(diǎn)A，使得恒成立？如果存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

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【題目】已知函數(shù)（）.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】甲、乙、丙三名乒乓球手進(jìn)行單打?qū)贡荣�，每�(jī)扇吮荣愐粓?chǎng)，共賽三場(chǎng)，每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，在每一場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，丙勝甲的概率為，乙勝丙的概率為，且各場(chǎng)比賽結(jié)果互不影響.若甲獲第一名且乙獲第三名的概率為.

（1）求的值；

（2）設(shè)在該次對(duì)抗比賽中，丙得分為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.

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【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1，公比q>0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差數(shù)列.

（1）求{an}；

（2）設(shè)bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為和，且其離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)（四點(diǎn)互不重合），請(qǐng)判斷直線是否恒過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，且、）.設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，且方程的兩實(shí)根為、.

（1）若，完成下列問題：

①求、的關(guān)系式；

②若、都是負(fù)整數(shù)，求的解析式；

（2）若，求證: .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字，，，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同。隨機(jī)有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為，，.

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的數(shù)字，，不完全相同”的概率.

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【題目】在如圖所示的六面體中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形ABEF是梯形，，平面平面ABEF，BE＝2AF=2，EF.

（1）在圖中作出平面ABCD與平面DEF的交線，并寫出作圖步驟，但不要求證明；

（2）求證：平面DEF；

（3）求平面ABEF與平面ECD所成銳二面角的余弦值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案