【題目】已知過(guò)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)與坐標(biāo)軸垂直的四條直線(xiàn)圍成的矩形
(
是第一象限內(nèi)的點(diǎn))的面積為
,且過(guò)橢圓
的右焦點(diǎn)
的傾斜角為
的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)若射線(xiàn)與橢圓
的交點(diǎn)分別為
.當(dāng)它們的斜率之積為
時(shí),試問(wèn)
的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)
的面積為定值
.
【解析】
(1)根據(jù)矩形面積、直線(xiàn)斜率和橢圓
關(guān)系可構(gòu)造方程組求得
,進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)方程為
,與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式,利用弦長(zhǎng)公式求得
,點(diǎn)到直線(xiàn)公式求得點(diǎn)
到直線(xiàn)
距離
,進(jìn)而表示出
;根據(jù)
,代入韋達(dá)定理形式化簡(jiǎn)可得
,代入
中化簡(jiǎn)得到
;當(dāng)直線(xiàn)
斜率不存在時(shí),可求得
兩點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得
;綜合兩種情況可知
為定值
.
(1)由題意得:,
,
,
.
直線(xiàn)
的斜率
,
,
由得:
,
橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.
(2)的面積為定值
,理由如下:
設(shè),
,
①當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)方程為
.
由得:
,
則,即
,
,
,
,
又點(diǎn)到直線(xiàn)
的距離
,
.
,
,
化簡(jiǎn)可得:,滿(mǎn)足
,
;
②當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí),
且
,
可設(shè)
,
,
則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
,
,
此時(shí);
綜上所述:的面積為定值
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一動(dòng)圓P與定圓外切,且與直線(xiàn)
相切,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)E.
(1)求曲線(xiàn)E的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l與曲線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn)B、C,設(shè)BC中點(diǎn)為Q,問(wèn):曲線(xiàn)E上是否存在一點(diǎn)A,使得
恒成立?如果存在,求出點(diǎn)A的坐標(biāo);如果不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線(xiàn)
在點(diǎn)
處的切線(xiàn)方程;
(2)若在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三名乒乓球手進(jìn)行單打?qū)贡荣,每(jī)扇吮荣愐粓?chǎng),共賽三場(chǎng),每場(chǎng)比賽勝者得3分,負(fù)者得0分,在每一場(chǎng)比賽中,甲勝乙的概率為,丙勝甲的概率為
,乙勝丙的概率為
,且各場(chǎng)比賽結(jié)果互不影響.若甲獲第一名且乙獲第三名的概率為
.
(1)求的值;
(2)設(shè)在該次對(duì)抗比賽中,丙得分為,求
的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1,公比q>0,S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差數(shù)列.
(1)求{an};
(2)設(shè)bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為
和
,且其離心率為
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)是直線(xiàn)
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)
分別交橢圓
于
兩點(diǎn)(
四點(diǎn)互不重合),請(qǐng)判斷直線(xiàn)
是否恒過(guò)定點(diǎn).若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);否則,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
,且
、
).設(shè)關(guān)于
的不等式
的解集為
,且方程
的兩實(shí)根為
、
.
(1)若,完成下列問(wèn)題:
①求、
的關(guān)系式;
②若、
都是負(fù)整數(shù),求
的解析式;
(2)若,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿(mǎn)分12分)一個(gè)盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字,
,
,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同。隨機(jī)有放回地抽取
次,每次抽取
張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為
,
,
.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的數(shù)字,
,
不完全相同”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的六面體中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,四邊形ABEF是梯形,,平面
平面ABEF,BE=2AF=2,EF
.
(1)在圖中作出平面ABCD與平面DEF的交線(xiàn),并寫(xiě)出作圖步驟,但不要求證明;
(2)求證:平面DEF;
(3)求平面ABEF與平面ECD所成銳二面角的余弦值.
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