Question

已知函數(shù)f（x）=2ax³﹣3x²，其中a＞0．
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x）（x∈[0，1]）在x=0處取得最大值，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）證明：求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=6x（ax﹣1）．
因?yàn)閍＞0且x＜0，
所以f′（x）＞0．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上是增函數(shù)．                  
（Ⅱ）解：由題意，g（x）=2ax³+（6a﹣3）x²﹣6x，（x∈[0，1]），
則g′（x）=6[ax²+（2a﹣1）x﹣1]．
令g′（x）=0，即ax²+（2a﹣1）x﹣1=0．①
由于△=4a²+1＞0，可設(shè)方程①的兩個(gè)根為x₁，x₂，
由①得x₁x₂=﹣，
由于a＞0，所以x₁x₂＜0，
不妨設(shè)x₁＜0＜x₂，g′（x）=6a（x﹣x₁）（x﹣x₂）．
當(dāng)0＜x₂＜1時(shí)，g（x₂）為極小值，所以在區(qū)間[0，1]上，g（x）在x=0或x=1處取得最大值；當(dāng)x₂≥1時(shí)，由于g（x）在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為g（0），
綜上，函數(shù)g（x）只能在x=0或x=1處取得最大值．      
又已知g（x）在x=0處取得最大值，
所以g（0）≥g（1），即0≥8a﹣9，解得a≤，
又因?yàn)閍＞0，
所以a∈（0，]．