Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA⊥EF；
（2）求二面角D-FG-E的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)及直線與PA與EF的方向向量，然后代入向量數(shù)量積公式，易得兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，故PA⊥EF；
（2）在（1）中所示的坐標(biāo)系中，我們求也平面DFG和平面EFG的法向量，然后代入二面角的向量法夾角公式中，即可得到二面角D-FG-E的余弦值．
解答：證明：（1）以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則F（0，0.1），E（0，1，1），P（0，0，2），A（2，0，0），
∴、
∵，
∴PA⊥EF
解：（2）D（0，0，0），F(xiàn)（0，0，1），G（1，2，0），
=（1，2，-1）
設(shè)平面DFG的法向量為=（x₁，y₁，z₁），
∵
∴
令y₁=1，得=（-2，1，0）是平面DFG的一個(gè)法向量、
設(shè)平面EFG的法向量為=（x₂，y₂，z₂），
∴∴
，令z₂=1，得=（1，0，1）是平面EFG的一個(gè)法向量、
∵
設(shè)二面角D-EG-E的平面角為θ，
則θ=＜，＞、
所以二面角D-FG-G的余弦值為
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)及二面角的平面角及求法，空間向量法解決夾角問題的其步驟是：建立空間直角坐標(biāo)系⇒明確相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)⇒明確相關(guān)向量的坐標(biāo)⇒通過空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．