設f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0),f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值、最小值分別為M、m,集合A={x|f(x)≤x},
(1)若A=[1,2],且f(0)=2,求M和m的值;
(2)若M+m≠8a+2c,求證:數(shù)學公式;
(3)若A=2,a∈[2n,+∞)(n∈N+),M-m的最小值記為g(n),估算使g(n)∈[103,104]的一切n的取值.(可以直接寫出你的結果,不必詳細說理)

解:(1)∵A=[1,2],
∴ax2+(b-1)x+2≤0的解集為[1,2],
∴方程ax2+(b-1)x+2=0的兩個根x1=1,x2=2,
由韋達定理得到:a=1,b=-2,
又f(0)=2,所以c=2,
則f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
∴M=f(-2)=10,m=f(1)=1;
(2)若,則函數(shù)y=f(x)的對稱軸,
∴f(x)在[-2,2]上單調(diào),
∴M+m=f(-2)+f(2)=8a+2c,與已知矛盾,

(3)∵A=2,∴ax2+(b-1)x+2=0有兩個等根x1=x2=2,
∴c=4a,b=1-4a,f(x)=ax2+(1-4a)x+4a,其對稱軸
滿足條件的n取值為6、7、8、9.
分析:(1)由A=[1,2],得到不等式f(x)≤x的解集為[1,2],把f(x)的解析式代入不等式化簡后,得到一個關于x的不等式小于等于0,則不等式左邊等于0時,方程的兩個根為1和2,根據(jù)韋達定理即可求出a與b的值,又因為f(0)=2,代入即可求出c的值,即可確定出f(x)的解析式,根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關系,由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到最大值為f(-2),最小值為f(1),即可求出M與m的值;
(2)利用反證法證明,先假設所證的式子大于等于4,得到f(x)的對稱軸不屬于(-2,2),所以得到f(x)在(-2,2)單調(diào),即可求出M+m的值為f(-2)+f(2),且等于8a+2c,與已知的M+m≠8a+2c矛盾,所以假設錯誤,原命題正確,得證;
(3)由A=2,得到ax2+(b-1)x+2=0有兩個等根,求出兩個等根,利用韋達定理由a表示出b和c,代入對稱軸即可求出對稱軸的范圍,得到對稱軸在區(qū)間(0,2),根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可表示出最大值M和最小值m,利用M-m即可得到g(n)的解析式,根據(jù)n為正整數(shù)即可估算出此時n的值.
點評:此題考查學生靈活運用韋達定理解決數(shù)學問題的能力,要求學生掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及會利用反證法進行證明命題為真命題,是一道綜合題.
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13、設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),對于任意-1≤x≤1,有f(x)|≤1;求證|f(2)|≤7.

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對于函數(shù)f(x),其定義域為D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],則稱f(x)為定義域上的凸函數(shù).
(1)設f(x)=ax2(a>0),試判斷f(x)是否為其定義域上的凸函數(shù),并說明原因;
(2)若函數(shù)f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)為其定義域上的凸函數(shù),試求出實數(shù)a的取值范圍.

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設f(x)=ax2+x-a,g(x)=2ax+5-3a
(1)若f(x)在x∈[0,1]上的最大值是
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,求a的值;
(2)若對于任意x1∈[0,1],總存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范圍;
(3)若f(x)=g(x)在x∈[0,1]上有解,求a的取值范圍.

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對于給定正數(shù)k,定fk(x)=
f(x)   (f(x)≤k)
k    (f(x)>k)
,設f(x)=ax2-2ax-a2+5a+2,對任意x∈R和任意a∈(-∞,0)恒有fk(x)=
f(x)
,則( 。

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(2013•閔行區(qū)二模)設f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,則f(2)的最大值為
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