Question

在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意知△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，分別以CB、CA所在的直線為x、y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系．算出A、B、C各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y）可得=2（x-）²+2（y-）²-1，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）時，取得最小值．
解答：解：∵Rt△ABC中，AC=2，BC=2，∴△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形
分別以CB、CA所在的直線為x、y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系
∵AC=BC=2，∴A（0，2），C（0，0），B（2，0）
設(shè)P（x，y），則
=（-x，2-y），=（2-x，-y）），=（-x，-y）
∴+=（2-2x，2-2y）
∴=-x（2-2x）-y（2-2y）=-2x+2x²-2y+2y²=2（x-）²+2（y-）²-1
∵（x-）²+（y-）²為點(diǎn)P到點(diǎn)（，）距離的平方，
∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）時，（x-）²+（y-）²達(dá)到最小值0，
由此可得當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）時，數(shù)量積的最小值是-1
故答案為：-1
點(diǎn)評：本題給出等腰直角三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)P，求數(shù)量積的最小值．著重考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用，屬于中檔題．解題的關(guān)鍵是根據(jù)所求式子運(yùn)用幾何意義使問題得以解決．