一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長(zhǎng)為的正四面體封閉容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球表面永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是 ．

 

【解析】

試題分析：如圖甲，考慮小球擠在一個(gè)角時(shí)的情況，記小球半徑為，作平面//平面，與小球相切于點(diǎn)，則小球球心為正四面體的中心，，垂足為的中心．

因，

故，從而．

記此時(shí)小球與面的切點(diǎn)為，連接，則

．

考慮小球與正四面體的一個(gè)面(不妨取為)相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，記為，如圖乙．記正四面體的棱長(zhǎng)為，過(guò)作于．

因，有，故小三角形的邊長(zhǎng)．

小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答圖2中陰影部分）

．　　　　　　　　　

又，，所以．

由對(duì)稱(chēng)性，且正四面體共4個(gè)面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為．

考點(diǎn)：(1)三棱錐的體積公式；（2）分情況討論及割補(bǔ)思想的應(yīng)用。

 

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一個(gè)圓柱形的罐子半徑是4米，高是9米，將其平放，并在其中注入深2米的水，截面如圖所示，水的體積是（ ）平方米.

A． B． C． D．

 

 

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已知拋物線(xiàn).

（1）若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)；

（2）已知△的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在上且，求點(diǎn)的軌跡方程.

 

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若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程（）的一個(gè)根，則的值為 .

 

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如圖，AB是底面半徑為1的圓柱的一條母線(xiàn)，O為下底面中心，BC是下底面的一條切線(xiàn)。

（1）求證：OB⊥AC；

（2）若AC與圓柱下底面所成的角為30°，OA=2。求三棱錐A-BOC的體積。

 

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從個(gè)正整數(shù)中任意取出兩個(gè)不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于的概率為,則 。

 

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三個(gè)平面最多把空間分割成 個(gè)部分。

 

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已知直二面角α－l－β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則D到平面ABC的距離等于（ ）

A. B. C. D．1

 

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A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

 

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