Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都是2，M是BC的中點(diǎn)，P是側(cè)棱BB₁上一點(diǎn)，且A₁P⊥B₁M．
（1）試求A₁P與平面APC所成角的正弦；
（2）求點(diǎn)A₁到平面APC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用垂直關(guān)系的向量表示即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；進(jìn)一步求出平面APC的法向量，最后利用向量的夾角公式即可求出直線A₁P與平面APC所成角；
（2）先利用空間中兩點(diǎn)的距離公式求出：，設(shè)A₁到平面PAC的距離為d，最后結(jié)合d與|A₁P|的關(guān)系即可求出d值．
解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A₁（2，0，0），B₁，
由A₁P⊥B₁M知
∴，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為P．

（1）設(shè)平面APC的法向量為n=（x，y，z），
由即∴n=．
取z=-1，則有n=，方向指向平面APC的左下方，又，．
設(shè)直線A₁P與平面APC所成角為α，則．
（2），設(shè)A₁到平面PAC的距離為d，則．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面之間所成角、點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力、利用空間向量的運(yùn)算能力，屬于中檔題．