已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．
分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式，計算出向量
a
與
b
的數(shù)量，再通過三角函數(shù)公式化簡得這個數(shù)量積等于零，從而得到向量
a
與向量
b
互相垂直；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式，先得出f(θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-
3
sinθ，再通過二倍角的三角函數(shù)公式進行化簡，得到f(θ)2cos(θ+
π
3
)，最后根據(jù)θ∈（0，π），可以得出函數(shù)f（θ）的值域．
解答：解：（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，得
a
•
b
=(cosθ，sinθ)•(-2sin2θ，2sinθcosθ)
=-2sin2θcosθ+2sin2θcosθ=0    
所以 
a
⊥
b

（2）根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，得
f(θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-
3
sinθ
=cosθ-
3
sinθ=2cos(θ+
π
3
)
∴θ∈（0，π），
∴
π
3
＜θ+
π
3
＜
4π
3
，
∴f（θ）的值域為：[-2，1）．
點評：本題著重考查了平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的綜合，屬于中檔題．準確運用向量數(shù)量積的公式和三角函數(shù)有關(guān)公式結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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