（滿分14分）已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且不等式f(x)>－2x的解集為(1，3)．

(1)若方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的根，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

 

【答案】

解：本題主要考查二次函數(shù)、方程的根與系數(shù)關(guān)系，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．

(1)∵f(x)＋2x>0的解集為(1,3)．

∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，因而

f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.  ①

由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②

∵方程②有兩個相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，即5a2－4a－1＝0.

解得a＝1或a＝－.  由于a<0，舍去a＝1，將a＝－代入①得

f(x)的解析式為f(x)＝－x2－x－.

(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a2－

及a<0，可得f(x)的最大值為－.  由

解得a<－2－或－2＋<a<0.

故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．

【解析】略

 

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(1)若方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的根，求f(x)的解析式；
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（本小題滿分14分）

已知二次函數(shù)的圖象過點，且函數(shù)對稱軸方程為.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最小值；

（Ⅲ）探究：函數(shù)的圖象上是否存在這樣的點，使它的橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

 

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（本小題滿分14分）

已知二次函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)

的圖象如圖所示：

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）令，求在上的最大值．

 

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（本小題滿分14分）已知二次函數(shù)滿足：①時有極值；②圖象過點，且在該點處的切線斜率為.

（I） 求f（x）的解析式；

（II）若曲線上任意一點的切線的斜率恒大于，求的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)非零實數(shù)滿足什么條件時，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有公共點？

 

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（本小題滿分14分）

已知二次函數(shù)，且同時滿足下列條件：

①  ② 對任意的實數(shù)，都有

③ 當(dāng)時，有。

（1）求；                

（2）求的值；

（3）當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。

 

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