Question

汶川特大地震造成多處嚴(yán)重威脅下游居民安全的堰塞湖，必須人工挖掘、爆破、攔截等方式來引流或疏通湖道，使其匯入主流流域或分散到水庫(kù)，以免造成洪災(zāi)．經(jīng)過對(duì)某堰塞湖的勘察，決定采用挖掘泄流槽來泄洪．

甲、乙兩位同學(xué)查閱相關(guān)資料獲知：泄流槽在過水?dāng)嗝婷娣e為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大．他們分別設(shè)計(jì)了縱斷面如圖所示的設(shè)計(jì)方案：
甲的方案：過水?dāng)嗝鏋榈妊�△ABC，AB=BC，過水濕周l₁=AB+BC；
乙的方案：過水?dāng)嗝鏋榈妊�梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC，∠BAD=60°，
過水濕周l₂=AB+BC+CD；
若甲的△ABC面積和乙的梯形ABCD面積都是S．
（1）分別求l₁（2）和l₂（3）的最小值；（2）哪位同學(xué)的設(shè)計(jì)方案使得流量更大．

Answer 1

分析：（1）由已知中甲的△ABC面積和乙的梯形ABCD面積都是S，我們易求出l₁關(guān)于S的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到l₁的最小值，根據(jù)梯形的面積公式，結(jié)合基本不等式也可以得到l₂最小值．
（2）根據(jù)已知中泄流槽在過水?dāng)嗝婷娣e為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大，結(jié)合（1）中的結(jié)論，我們易得結(jié)論．

解答：解：（1）對(duì)于甲方案：∵S=

1

2

AB2×sinB，∴AB=

2S sinB

，l₁=2AB=2

2S sinB

∴當(dāng)sinB=1，B=90°時(shí)，(l1)min=2

2S

．
對(duì)于乙方案：S=

1

2

(BC+AD)×h=

1

2

(BC+2×ABcos60°+BC)×ABsin60°=

3

4

(2BC+AB)×AB=

3

12

(2BC+AB)×3AB
≤

3

12

(

2BC+4AB

2

)2=

3

12

l22（等號(hào)當(dāng)BC=2AB時(shí)成立）
∴l22≥4

3

S，(l2)min=2

3 S

（2）∵2

2S

＞2

3 S

，∴（l₁）_min＞（l₂）_min
∴乙同學(xué)設(shè)計(jì)的方案使得流量更大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是基本不等式，函數(shù)的最值，其中在求最值時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式，線性規(guī)劃，導(dǎo)數(shù)法，是最常用的四種方法，要根據(jù)實(shí)際選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/div>