如圖，已知四棱錐S—ABCD的底面是邊長為4的正方形,S在底面的射影O在正方形ABCD內(nèi),且O到AB,AD的距離分別為2和1.

(1)求證:·是定值;

(2)已知P是SC的中點(diǎn),且SO=3,問在棱SA上是否存在一點(diǎn)Q,使異面直線OP與BQ所成的角為90°?若存在,請給出證明,并求出AQ的長;若不存在,請說明理由.

解：(1)在△SDC內(nèi)，作SE⊥CD交CD于E，連結(jié)OE.

∵SO⊥平面ABCD,

∴SO⊥CD.

∴CD⊥平面SOE,

∴DE⊥OE.∴OE∥AD.

∴DE=1.從而CE=3.

·=·=||||cos∠SCD=||||=12,

∴·是定值.

(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)S所在直線為Oz軸,以過O且平行于AD的直線為Ox軸,以過O且平行于AB的直線為Oy軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(2,-1,0),B(2,3,0),C(-2,3,0),S(0,0,3),P(-1,,),

設(shè)點(diǎn)Q(x,y,z),則存在λ使=λ,

即（x-2,y+1,z）=λ(-2,1,3),

得即

令·=（-1，，）·（-2λ,λ-4,3λ）=8λ-6=0,得λ=.由0＜λ＜1知，點(diǎn)Q在棱SA上，且Q（，-，），||=||=.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，SA⊥平面ABCD，SA=2，E是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內(nèi)，SO的長為3，O到AB，AD的距離分別為2和1，P是SC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)Q是棱SA上的一點(diǎn)，若
AQ
=
3
4
AS
，求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成，其中SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，且二面角S-CD-A的大小為120°．
（Ⅰ）求證：平面ASD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱SC和底面ABCD所成角為θ，求θ的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•湖北模擬）如圖，已知四棱錐S-ABCD中，△SAD是邊長為a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，P為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-Q的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•江西模擬）（如圖）已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形，將面SAB，SAD，ABCD 展開成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC．
（1）求證：在四棱錐S-ABCD中AB⊥SD．
（2）若AC長等于6，求異面直線AB與SC之間的距離．

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