Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+1．
（1）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則b=alna+1，切線的斜率為lna+1，利用直線l過(guò)點(diǎn)（0，-1），可得直線的斜率，從而可求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求直線l的斜率．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=lnx+1，x＞0．…（2分）
由f′（x）=lnx+1＞0，可得x＞

1

e

；f′（x）=lnx+1＜0，可得0＜x＜

1

e

，
所以f（x）在（0，

1

e

）上單調(diào)遞減，在（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增．…（4分）
所以x=

1

e

是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在．…（6分）
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），
則b=alna+1，切線的斜率為lna+1，
又切線l過(guò)點(diǎn)（0，-1），所以

b+1

a

=lna+1 …（9分）
所以b+1=a（lna+1），
所以alna+1+1=a（lna+1），所以a=2，
所以直線l的斜率為1+ln2…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．