Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．設(shè)D，E分別為PA，AC中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAB；
（Ⅲ）試問在線段AB上是否存在點F，使得過三點 D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點F的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明以DE∥平面PBC，只需證明DE∥PC；
（Ⅱ）證明BC⊥平面PAB，根據(jù)線面垂直的判定定理，只需證明PA⊥BC，AB⊥BC；
（Ⅲ）當(dāng)點F是線段AB中點時，證明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為點E是AC中點，點D為PA的中點，所以DE∥PC．
又因為DE?面PBC，PC?面PBC，
所以DE∥平面PBC．                                    …．（4分）
（Ⅱ）證明：因為平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA?平面PAC，PA⊥AC，
所以PA⊥面ABC，
因為BC?平面ABC，
所以PA⊥BC．
又因為AB⊥BC，且PA∩AB=A，
所以BC⊥面PAB．                                        …．（9分）
（Ⅲ）解：當(dāng)點F是線段AB中點時，過點D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．
取AB中點F，連EF，連DF．
由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．
因為點E是AC中點，點F為AB的中點，
所以EF∥BC．
又因為EF?平面PBC，BC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．
又因為DE∩EF=E，
所以平面DEF∥平面PBC，
所以平面DEF內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．
故當(dāng)點F是線段AB中點時，過點D，E，F(xiàn)所在平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．                                      …．（14分）

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查面面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，掌握線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理是關(guān)鍵．