Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=

2

AA1，D是A₁B₁的中點，點E在A₁C₁上，且DE⊥AE．
（1）證明：平面ADE⊥平面ACC₁A₁
（2）求直線AD和平面ABC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證平面ADE⊥平面ACC₁A₁，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面ADE內(nèi)一直線與平面ACC₁A₁垂直，而根據(jù)DE⊥AA₁而DE⊥AE．AA₁∩AE=A滿足線面垂直的判定定理可知DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）設(shè)F是AB的中點，連接DF、DC、CF，可證平面ABC₁⊥平面C₁DF，過點D作DH垂直C₁F于點H，則DH⊥平面ABC₁，連接AH，則∠HAD是AD和平面ABC₁所成的角．在三角形HAD中求出此角即可．

解答：解：（1）如圖所示，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質(zhì)知AA₁⊥平面A₁B₁C₁
又DE?平面A₁B₁C₁，所以DE⊥AA₁．
而DE⊥AE．AA₁∩AE=A所以DE⊥平面ACC₁A₁，
又DE?平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC₁A₁．

（2）如圖所示，設(shè)F是AB的中點，連接DF、DC、CF，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質(zhì)及D是A₁B的中點知A₁B₁⊥C₁D，
A₁B₁⊥DF又C₁D∩DF=D，所以A₁B₁⊥平面C₁DF，
而AB∥A₁B₁，所以
AB⊥平面C₁DF，又AB?平面ABC₁，故
平面ABC₁⊥平面C₁DF．
過點D做DH垂直C₁F于點H，則DH⊥平面ABC₁．
連接AH，則∠HAD是AD和平面ABC₁所成的角．
由已知AB=

2

AA₁，不妨設(shè)AA₁=

2

，則AB=2，DF=

2

，DC₁=

3

，
C₁F=

5

，AD=

A A 2 1 +AD2

=

3

，DH=

DF•DC1

C1F

=

2 × 3

5

=

30

5

，
所以sin∠HAD=

DH

AD

=

10

5

．
即直線AD和平面ABC₁所成角的正弦值為

10

5

．

點評：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查面面垂直的判定及線面所成角的計算，考查邏輯思維能力、運算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．