已知f1（x）=sin2x，記fn+1（x）=fn′（x），（n∈N*），則f1(
π
4
)+f2(
π
4
)+…+f2012(
π
4
)=
1-22012
5
1-22012
5
．
分析：根據(jù)題目給出的f1（x），依次求導(dǎo)得到f2（x），f3（x），…，然后把sin
π
2
和cos
π
2
的值代入，得到要求的和式是以1為首項(xiàng)，以-4為公比的等比數(shù)列的前1006項(xiàng)和，運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求解．
解答：解：∵f1（x）=sin2x，∴f2(x)=f1′(x)=(sin2x)′=2cos2x，f3(x)=f2′(x)=(2cos2x)′=-4sin2x，
f4(x)=f3′(x)=(-4sin2x)′=-8cos2x，f5(x)=f4′(x)=(-8cos2x)′=16sin2x，…
∵sin2×
π
4
=sin
π
2
=1，cos2×
π
4
=cos
π
2
=0，
∴f1(
π
4
)+f2(
π
4
)+f3(
π
4
)+…+f2012(
π
4
)=1-22+24-28+…-22010=
1×[1-(-4)1006]
1-(-4)
=
1-22012
5
．
故答案為
1-22012
5
．
點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，數(shù)列的求和，考查了學(xué)生分析和發(fā)現(xiàn)問題的能了，考查了運(yùn)算能力，本題屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f1（x）=|3x-1|，f2（x）=|a•3x-9|（a＞0），x∈R，且f(x)=
f1(x)     f1(x)≤f2(x)   
f2(x)     f1(x)＞f2(x)
．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)2≤a＜9時(shí)，設(shè)f（x）=f2（x）所對應(yīng)的自變量取值區(qū)間的長度為l（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m），試求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在這樣的a，使得當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）=f2（x）？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f1（x）=sinx+cosx，且f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn（x）=fn-1′（x），…（n∈N*，n≥2），則f1(
π
4
)+f2(
π
4
)+…+f2011(
π
4
)=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=4sin2x•sin2(x+
π
4
)+cos4x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若g(x)=f(x+φ)，(-
π
2
＜φ＜
π
2
)在x=
π
3
處取得最大值，求φ的值；
（Ⅲ）求y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f1（x）=ax，f2（x）=xa，f3（x）=logax，（a＞0且a≠1），在同一坐標(biāo)系中畫出其中兩個(gè)函數(shù)在第Ⅰ象限的圖象，正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函數(shù)f（x）定義為：對每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x，f(x)=
f1(x)    f1(x)≤f2(x) 
f2(x)    f1(x)＞f2(x) 

（1）若f（x）=f1（x）對所有實(shí)數(shù)x都成立，求a的取值范圍；
（2）設(shè)t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]上的單調(diào)遞增區(qū)間的長度之和為d（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m），求
d
t
；
（3）設(shè)g（x）=x2-2bx+3．當(dāng)a=2時(shí)，若對任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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