Question

設函數(shù)（），．

(1) 將函數(shù)圖象向右平移一個單位即可得到函數(shù)的圖象，試寫出的解析式及值域；

(2) 關于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)的取值范圍；

(3) 對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”．設，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

的解集中的整數(shù)恰有3個轉(zhuǎn)化為解集的兩個端點所在區(qū)間問題,從而把問題轉(zhuǎn)化為研究二次方程的根的分布問題;又由于轉(zhuǎn)化后的不等式可以分解因式因此可以化為更簡單的問題求解; (3)該題一般的思考應該是分兩次研究兩個恒成立問題,含有兩個參數(shù),增加問題的難度,如果能轉(zhuǎn)化為求公共切線問題,就可以使問題得到簡化,因此可以想到這兩條曲線是否存在公共點,即探討兩曲線的交點,再研究過交點的公共切線;該題考查函數(shù)性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、解不等式、導數(shù)及其運用、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸能力、分析問題解決問題能力，其中(1)是簡單題, (2)是中檔題, (3)是難題。

21解：（1），值域為　　　　　　　　　…………2分

（2）解法一:不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，

等價于恰有三個整數(shù)解，故，　　　　　　

令，由且，

所以函數(shù)的一個零點在區(qū)間，

則另一個零點一定在區(qū)間，　　　　　　　　　　　　　　　　　…………4分

故解之得．　　　　　　　　　　　　　　　　　…………6分

解法二：恰有三個整數(shù)解，故，即，

，

所以，又因為，　　　…………4分

所以，解之得．　　　　　　　　　　　……6分

（3）設，則．

所以當時，；當時，．

因此時，取得最小值，

則與的圖象在處有公共點．　　　　　　　………8分

設與存在 “分界線”，方程為，

即，

由在恒成立，則在恒成立 ．

所以成立，

因此．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………8分

下面證明恒成立．

 設，則．

 所以當時，；當時，．

因此時取得最大值，則成立．

故所求“分界線”方程為：．　　　　　　　　　　　　…………12分