Question

（2013•徐州模擬）已知f（x）=log₂（x-1），若實(shí)數(shù)m，n滿足f（m）+f（n）=2，則mn的最小值是

9

．

Answer 1

分析：由題目給出的函數(shù)解析式可以得到m和n均大于1，然后由f（m）+f（n）=2，得到mn-（m+n）=3．利用基本不等式轉(zhuǎn)化為含mn的不等式，通過解不等式可以求得mn的最小值．

解答：解：由f（x）=log₂（x-1），且實(shí)數(shù)m，n滿足f（m）+f（n）=2，
所以log₂（m-1）+log₂（n-1）=2．
則

m＞1 n＞1 log2(m-1)(n-1)=2①

，
由①得（m-1）（n-1）=4，即mn-（m+n）=3．
所以3=mn-（m+n）≤mn-2

mn

．
即mn-2

mn

-3≥0．解得

mn

≤-1，或

mn

≥3．
因?yàn)閙＞1，n＞1．所以

mn

≥3，mn≥9．
故答案為9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式，考查了利用基本不等式求最值，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．