Question

18．已知函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x-m+$\frac{m}{x}$（m＞0）是[1，+∞）上的增函數(shù)．當實數(shù)m取最大值時，若存在點Q，使得過點Q的直線與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等，則點Q的坐標為（　　）

• A． （0，-3）
• B． （2，-3）
• C． （0，0）
• D． （0，3）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出m的最大值，結(jié)合過點Q的直線與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等，判斷函數(shù)的對稱性進行求解即可．

解答 解：由g（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x-m+$\frac{m}{x}$，得g′（x）=x²+2-$\frac{m}{{x}^{2}}$．
∵g（x）是[1，+∞）上的增函數(shù)，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x²+2-$\frac{m}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
設x²=t，∵x∈[1，+∞），∴t∈[1，+∞），即不等式t+2-$\frac{m}{t}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
設y=t+2-$\frac{m}{t}$，t∈[1，+∞），
∵y′=1+$\frac{m}{{t}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)y=t+2-$\frac{m}{t}$在[1，+∞）上單調(diào)遞增，因此y_min=3-m．
∵y_min≥0，∴3-m≥0，即m≤3．又m＞0，故0＜m≤3．m的最大值為3．
故得g（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x-3+$\frac{3}{x}$，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
將函數(shù)g（x）的圖象向上平移3個長度單位，所得圖象相應的函數(shù)解析式為φ（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x+$\frac{3}{x}$，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
由于φ（-x）=-φ（x），
∴φ（x）為奇函數(shù)，
故φ（x）的圖象關于坐標原點成中心對稱．
由此即得函數(shù)g（x）的圖象關于點Q（0，-3）成中心對稱．
這表明存在點Q（0，-3），使得過點Q的直線若能與函數(shù)g（x）的圖象圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等．
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的考查，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，結(jié)合函數(shù)的對稱性是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．