Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的焦點在y軸上，且拋物線上的點P（x，4）到焦點F的距離為5．斜率為2的直線l與拋物線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的標準方程，及拋物線在P點處的切線方程；
（Ⅱ）若AB的垂直平分線分別交y軸和拋物線于M，N兩點（M，N位于直線l兩側(cè)），當四邊形AMBN為菱形時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程，根據(jù)點P到焦點F的距離為5，可得拋物線的標準方程，利用導(dǎo)數(shù)，即可求得拋物線在P點處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，求得AB的中點，從而可得AB的垂直平分線方程，進一步確定M、N的坐標，即可求得直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）依題意設(shè)拋物線C：x²=2py（p＞0），
因為點P到焦點F的距離為5，所以點P到準線的距離為5．
因為P（x，4），所以由拋物線準線方程可得，∴p=2．
所以拋物線的標準方程為x²=4y．                   …（4分）
即，所以 ，點P（±4，4），
所以，．
所以點P（-4，4）處拋物線切線方程為y-4=-2（x+4），即2x+y+4=0；點P（4，4）處拋物線切線方程為y-4=2（x-4），即2x-y-4=0．
所以P點處拋物線切線方程為2x+y+4=0，或2x-y-4=0．   …（7分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=2x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立，消y得x²-8x-4m=0，△=64+16m＞0．
所以x₁+x₂=8，x₁x₂=-4m，
所以，，
即AB的中點為Q（4，8+m）．
所以AB的垂直平分線方程為．
因為四邊形AMBN為菱形，所以M（0，m+10），
因為M，N關(guān)于Q（4，8+m）對稱，所以N點坐標為N（8，m+6），
因為N在拋物線上，所以64=4×（m+6），即m=10，
所以直線l的方程為y=2x+10．       …（14分）
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查拋物線的切線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的而運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．