Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁A⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，A₁A=AB=6，D為AC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求三棱錐C₁-BCD的體積；
（Ⅱ）求證：平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）求證：直線AB₁∥平面BC₁D．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)△ABC為正三角形，D為AC中點(diǎn)，得到BD⊥AC，求出△BCD的面積；再根據(jù)C₁C⊥底面ABC即可求出三棱錐C₁-BCD的體積；
（Ⅱ）先根據(jù)A₁A⊥底面ABC，得到A₁A⊥BD，再結(jié)合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC₁A₁．即可證：平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）連接B₁C交BC₁于O，連接OD，根據(jù)D為AC中點(diǎn)，O為B₁C中點(diǎn)可得OD∥AB₁，即可證：直線AB₁∥平面BC₁D．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵△ABC為正三角形，D為AC中點(diǎn)，
∴BD⊥AC，
由AB=6可知，CD=3，BD=3

3

，
∴S△BCD=

1

2

•CD•BD=

9 3

2

．
又∵A₁A⊥底面ABC，且A₁A=AB=6，
∴C₁C⊥底面ABC，且C₁C=6，
∴VC1-BCD=

1

3

•S△BCD•C1C=9

3

．                           …（4分）
（Ⅱ）∵A₁A⊥底面ABC，
∴A₁A⊥BD．
又BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
又BD?平面BC₁D，
∴平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁．                                  …（8分）
（Ⅲ）連接B₁C交BC₁于O，連接OD，
在△B₁AC中，D為AC中點(diǎn)，O為B₁C中點(diǎn)，
所以O(shè)D∥AB₁，
又OD?平面BC₁D，
∴直線AB₁∥平面BC₁D．                                   …（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查平面與平面垂直的判定以及直線與平面平行的判定和棱錐體積的計(jì)算．在證明線面平行時，一般常用做法是證明面面平行或證明線線平行．