Question

【題目】現(xiàn)代城市大多是棋盤式布局（如北京道路幾乎都是東西和南北走向）.在這樣的城市中，我們說(shuō)的兩點(diǎn)間的距離往往不是指兩點(diǎn)間的直線距離（位移），而是實(shí)際路程（如圖）.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，我們定義，兩點(diǎn)間的“直角距離”為：.

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，寫出所有滿足到原點(diǎn)的“直角距離”為2的“格點(diǎn)”的坐標(biāo).（格點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

（2）求到兩定點(diǎn)、的“直角距離”和為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，并在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出該動(dòng)點(diǎn)的軌跡.（在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)做答）

①，，；

②，，；

③，，.

（3）寫出同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的“格點(diǎn)”的坐標(biāo)，并說(shuō)明理由（格點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）.

①到，兩點(diǎn)“直角距離”相等；

②到，兩點(diǎn)“直角距離”和最小.

Answer 1

【答案】（1）、、、、、、、

（2）答案不唯一，見(jiàn)解析

（3）、、、、、、、、，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）由“直角距離”的定義知，進(jìn)而得到所求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)“直角距離”的定義，分別結(jié)合條件①②③，得到動(dòng)點(diǎn)軌跡方程；利用分類討論的方式去掉絕對(duì)值符號(hào)即可得到不同區(qū)間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，從而做出圖形；

（3）由條件①可得：；由條件②可得：，在平面直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)條件下的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，取交集，結(jié)合圖形得到最終結(jié)果.

（1）由“直角距離”的定義可知所求點(diǎn)坐標(biāo)滿足：

則所求點(diǎn)為：、、、、、、、

（2）條件①：動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為：

⑴當(dāng)，時(shí)，；⑵當(dāng)，時(shí)，；

⑶當(dāng)，時(shí)，；⑷當(dāng)，時(shí)，；

⑸當(dāng)，時(shí)，；⑹當(dāng)，時(shí)，

條件②：動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為：

⑴當(dāng)，時(shí)，；⑵當(dāng)，時(shí)，；

⑶當(dāng)，時(shí)，；

由對(duì)稱性可得其他部分圖形

條件③：動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為：

⑴當(dāng)，時(shí)，；⑵當(dāng)，時(shí)，；

⑶當(dāng)，時(shí)，

由對(duì)稱性可得其他部分圖形

（3）滿足條件的格點(diǎn)有、、、、、、、、

對(duì)于①，設(shè)滿足到、兩點(diǎn)“直角距離”相等

即滿足，可得：

對(duì)于②，設(shè)到、兩點(diǎn)“直角距離”和最小

即

當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立

可得：

在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出分別滿足條件①、②的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，如下圖所示：

則同時(shí)滿足條件①、②的格點(diǎn)的坐標(biāo)是：、、、、、、、、