Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4．
（Ⅰ）若F為DE的中點(diǎn)，求證：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）如果四棱錐E-ABCD有外接球，求出四棱錐E-ABCD外接球的半徑，沒有的話請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)AC和BD相交于G，連接GF．通過證明GF∥BE證出BE∥平面ACF．
（Ⅱ）過E點(diǎn)作EH⊥AD，垂足為H，連接BH，可以證明EH⊥平面ABCD，所以∠EBH是直線BE與平面ABCD所成的角．在RT△EBH中求解．
（Ⅲ）在RT△AEC中，斜邊AC上的中線EG等于斜邊一半，所以有，G為外接球球心．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)AC和BD相交于G，連接GF．

正方形ABCD，∴BG=GD，又∵EF=DF，∴GF∥BE，
又∵GF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF…（4分）
（Ⅱ）過E點(diǎn)作EH⊥AD，垂足為H，連接BH

∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，又∵CD⊥AD，AE∩AD=A，
∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，
∴EH⊥平面ABCD
所以∠EBH是直線BE與平面ABCD所成的角．…（6分）
在RT△ADE中，AE=3，DE=4，∴．
∵AB∥CD，∴AB⊥AE，∴，
∴．
所以直線BE與平面ABCD所成角的正弦值為．…（9分）
（Ⅲ）∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CE，∠AEC=90°，又 ABCD為正方形，
所以有，
所以四棱錐E-ABCD有外接球，且G為球心，半徑為…（12分）
點(diǎn)評：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判定，線面角求解．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力、推理論證、轉(zhuǎn)化計(jì)算能力．