Question

已知函數(shù)f（x）=x³-9x²cosα+48xcosβ+18sin²α，g（x）=f'（x），且對任意的實(shí)數(shù)t均有g(shù)（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若對任意的m∈[-26，6]，恒有f（x）≥x²-mx-11，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出f'（x），即g（x），它是關(guān)于x的二次函數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)t均有g(shù)（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0
可先求出1+cost和3+sint的范圍，轉(zhuǎn)化為g（x）在某些區(qū)間上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象確定g（x）應(yīng)滿足的條件．
（2）由題意對任意的m∈[-26，6]恒成立，只要把式子看成關(guān)于m的不等式恒成立即可．

解答：解：（1）g（x）=f'（x）=3x²-18xcosα+48cosβ
對任意的實(shí)數(shù)t，1+cost∈[0，2]，3+sint∈[2，4]．
對任意的實(shí)數(shù)t有g(shù)（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0
即對任意的實(shí)數(shù)x∈[0，2]有g(shù)（x）≥0，x∈[2，4]時(shí)有g(shù)（x）≤0
∴

g(0)＞0 g(2)=0 g(4)≤0

即

3cosα-4cosβ=1 cosβ＞0 4-6cosα+4cosβ≤0

，解得

cosα=1 cosβ= 1 2

所以f（x）=x³-9x²+24x
（2）令g（m）=f（x）-x²+mx+11=xm+x³-10x²+24x+11
由題意只要

g(-26)≥0 g(6)≥0

即

x3-10x2-2x+11≥0 x3-10x2+30x+11≥0

，解得

9-5 5 2 ≤x≤1或x≥ 9+5 5 2

點(diǎn)評：本題考查待定系數(shù)法求解析式、不等式恒成立問題，綜合性強(qiáng)，難度較大．