Question

甲、乙兩容器中分別盛有兩種濃度的某種溶液300mL，從甲容器中取出100mL溶液，將其倒入乙容器中攪勻，再?gòu)囊胰萜髦腥〕?00mL溶液，將其倒入甲容器中攪勻，這稱為是一次調(diào)和，已知第一次調(diào)和后，甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：a₁=20%，b₁=2%，第n次調(diào)和后的甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：a_n，b_n．
（Ⅰ）請(qǐng)用a_n，b_n分別表示a_n+1和b_n+1；
（Ⅱ）問(wèn)經(jīng)過(guò)多少次調(diào)和后，甲乙兩容器中溶液的濃度之差小于0.1%．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意，第n次調(diào)和后的甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：a_n，b_n，從而可用a_n，b_n分別表示a_n+1和b_n+1；
（Ⅱ）由于題目中的問(wèn)題是針對(duì)濃度之差，所以，我們不妨直接考慮數(shù)列{a_n-b_n}．由（I）可得數(shù)列{a_n-b_n}是以a₁-b₁=18%為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，令a_n-b_n＜0.1%，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）由題意可設(shè)在第一次調(diào)和后的濃度為a₁=20%，b₁=2%，bn+1=

100an+300bn

(100+300)

=

1

4

an+

3

4

bn；
an+1=

100bn+1+200an

(100+200)

=

1

3

bn+1+

2

3

an=

1

3

(

1

4

an+

3

4

bn)+

2

3

an=

3

4

an+

1

4

bn…（6分）
（II）由于題目中的問(wèn)題是針對(duì)濃度之差，所以，我們不妨直接考慮數(shù)列{a_n-b_n}．
由（I）可得：an+1-bn+1=(

1

3

bn+1+

2

3

an)-bn+1=

2

3

(an-bn+1)=

2

3

[an-(

1

4

an+

3

4

bn)]=

1

2

(an-bn)
=an+1-bn+1=(

1

3

bn+1+

2

3

an)-bn+1=

2

3

(an-bn+1)=

2

3

[an-(

1

4

an+

3

4

bn)]=

1

2

(an-bn)…（8分）
所以，數(shù)列{a_n-b_n}是以a₁-b₁=18%為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
所以，an-bn=18%×(

1

2

)n-1…（9分）
由題，令a_n-b_n＜0.1%，得(

1

2

)n-1＜

1

180

．
所以，n-1＞

lg180

lg2

=log2180．…（11分）
由2⁷＜180＜2⁸得7＜log₂180＜8，所以，n＞8…（12分）
即第9次調(diào)和后兩溶液的濃度之差小于0.1%…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．