Question

20．設函數(shù)f（x）=|2x-a|．
（1）當a=3時，解不等式，f（x）＜|x-2|．
（2）若f（x）≤1的解集為[0，1]，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a（m＞0，n＞0），求證：m+2n≥4．

Answer 1

分析 （1）對不等式兩邊平方、整理，再由二次不等式的解法即可得到；
（2）求出f（x）≤1的解集，由題意解得a=1，即$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=1$，再運用乘1法和基本不等式即可得證．

解答 解：（1）當a=3時，不等式變形為|2x-3|＜|x-2|，
兩邊平方整理得3x²-8x+5＜0，解得$1＜x＜\frac{5}{3}$，
所以不等式的解集為$\left\{{x\left|{1＜x＜\frac{5}{3}}\right.}\right\}$
（2）證明：由f（x）≤1得$\frac{a-1}{2}≤x≤\frac{a+1}{2}$，
由f（x）≤1的解集為[0，1]，
可得$\frac{a-1}{2}$=0，$\frac{a+1}{2}$=1，
解得a=1，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=1$，
所以$m+2n=（\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}）（m+2n）=2+\frac{2n}{m}+\frac{m}{2n}≥2+2\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{m}{2n}}=4$，
當且僅當m=2n=2，取得等號．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，注意運用兩邊平方的方法；同時考查不等式的證明，注意運用乘1法和基本不等式，屬于中檔題．