Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，．從{a_n}中抽出部分項(xiàng)，（k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）組成的數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，其中．
（1）求a₂的值；
（2）當(dāng)q取最小時(shí)，求{k_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求k₁+k₂+…+k_n的值．

Answer 1

解：（1）令n=1得，即，
又a₁=2，∴．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由?na_n+1-（n-1）a_n=a_n+n，由（1）可知：．
∴?n∈N^*，都有．
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴．
解法一：數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)遞增等差數(shù)列，故數(shù)列的公比q＞1，
若k₂=2，則由，得，此時(shí)，由解得，所以k₂＞2，同理k₂＞3；
若k₂=4，則由a₄=4得q=2，此時(shí)組成等比數(shù)列，
∴，3•2^n-1=m+2，對(duì)任何正整數(shù)n，只要取m=3•2^n-1-2，即是數(shù)列{a_n}的第3•2^n-1-2項(xiàng)．最小的公比q=2．
∴．
解法二：數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)遞增等差數(shù)列，故數(shù)列的公比q＞1，
設(shè)存在（k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）組成的數(shù)列是等比數(shù)列，
則，即
∵k₂、k₃∈N*且k₂＞1所以k₂+2必有因數(shù)3，即可設(shè)k₂+2=3t，t≥2，t∈N，
當(dāng)數(shù)列的公比q最小時(shí)，即k₂=4，?q=2最小的公比q=2．∴．
（3）由（2）可得從{a_n}中抽出部分項(xiàng)（k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）組成的數(shù)列是等比數(shù)列，其中k₁=1，
那么的公比是，其中由解法二可得k₂=3t-2，t≥2，t∈N．

，t≥2，t∈N
所以．
分析：（1）由已知：a₁=2，．令n=1即可得出；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由?na_n+1-（n-1）a_n=a_n+n，（n=1時(shí)也成立）即可得出通項(xiàng)a_n．
解法一：數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)遞增等差數(shù)列，故數(shù)列的公比q＞1，由k₂=2，3，經(jīng)驗(yàn)證不符合題意，應(yīng)舍去；若k₂=4，則由a₄=4得q=2，此時(shí)組成等比數(shù)列，可求出k_n；
解法二：設(shè)存在（k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）組成的數(shù)列是等比數(shù)列，則，即即可得出k_n．
（3）利用（2）求出的k_n，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和公式S_n之間的關(guān)系，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式事件他的關(guān)鍵．