Question

如圖，四棱錐中，底面ABCD是菱形，SA=SD=

39

，AD=2

3

，且S-AD-B大小為120°，∠DAB=60°．
（1）求異面直線SA與BD所成角的正切值；
（2）求證：二面角A-SD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）過A作AO∥BD交CD的延長線于點(diǎn)O，連接BO交AD于點(diǎn)E，再連接OS，可得∠SAO是異面直線SA與所成的角．再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)得到SE=6，OE=BE=3，在△SEO中由余弦定理可得：SO=3

3

，然后在△SOA中由長度關(guān)系得到SO⊥OA，進(jìn)而求出線面角的正切值．
（2）在△SOE中由長度關(guān)系得到SO⊥OE，又SO⊥OA，可得SO⊥平面ABCD，所以平面SOC⊥平面ABCD，過A作AF⊥OD，得到AF⊥平面SOD，作AN⊥SD，并且交SD與點(diǎn)N，連FN，由三垂線定理可得：FN⊥SD，根據(jù)二面角的平面角的定義可得：∠FNA為二面角A-SD-O的平面角，進(jìn)而利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出二面角的平面角．

解答：解：（1）過A作AO∥BD交CD的延長線于點(diǎn)O，連接BO交AD于點(diǎn)E，再連接OS，
∴∠SAO是異面直線SA與所成的角．…（2分）
∵OABD是平行四邊形，∴E是AD的中點(diǎn)．
∵SA=SD=

39

，∴SE⊥AD，
又∵底面ABCD是菱形，并且∠DAB=60°，
∴BE⊥AD，
∴∠SEB是二面角S-AD-B的平面角，即∠SEB=120°，
∴∠SEO=60°．…（4分）
∵SA=SD=

39

，AD=2

3

，
∴SE=6，OE=BE=3，
∴在△SEO中由余弦定理可得：SO2=SE2+OE2-2SE•OE•cos60°⇒SO=3

3

．
在△SOA中，SO=3

3

，SA=

39

，OA=2

3

，SO2+OA2=SA2⇒SO⊥OA，
∴tan∠SAO=

OS

OA

=

3 3

2 3

=

3

2

；…（6分）
所以異面直線SA與BD所成角的正切值為

3

2

．
（2）在△SOE中，SO=3

3

，SE=6，OE=3，SO2+OE2=SE2⇒SO⊥OE
由（1）可得：在△SOA中，SO⊥OA，
∴SO⊥平面ABCD，SO?平面SOC
故平面SOC⊥平面ABCD，…（8分）
過A作AF⊥OD，

∴AF⊥平面SOD，
作AN⊥SD，并且交SD與點(diǎn)N，連FN，
∴由三垂線定理可得：FN⊥SD，
∴根據(jù)二面角的平面角的定義可得：∠FNA為二面角A-SD-O的平面角…（10分）
由題意可得：AF=ADsin60°=3，
在△SAD中根據(jù)等面積可得：

1

2

×AD×SE=

1

2

×SD×AN，即

1

2

× 2

3

×6= 

1

2

×

39

×AN，
所以AN=

12 3

39

=

12 13

13

，
所以sin∠FNA=

AF

AN

=

3

12 13 13

=

13

4

．
故二面角A-SD-C的大小為π-arcsin

13

4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間中的二面角的平面角與線面角，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，其步驟是：首先是結(jié)合圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確的作出空間角，再證明此角是所求角，然后利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出空間角，也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角等問題．