Question

2．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x2+4x+3，g（x）=x+$\frac{1}{x}$+t，若?x₁∈R，?x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≤g（x₂），則實(shí)數(shù)t的取值范圍是$[-\frac{4}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x2+4x+3=$（\frac{1}{2}）^{（x+2）^{2}-1}$，利用復(fù)合函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性可得最大值．g（x）=x+$\frac{1}{x}$+t，g′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出最大值．根據(jù)?x₁∈R，?x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≤g（x₂），可得g（x）_max≥f（x）_max，即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x2+4x+3=$（\frac{1}{2}）^{（x+2）^{2}-1}$，
∵x∈R，∴u（x）=（x+2）²-1≥-1，
∴f（x）∈（0，2]．
∵g（x）=x+$\frac{1}{x}$+t，g′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，g′（x）≥0，
∴函數(shù)g（x）在x∈[1，3]時(shí)的單調(diào)遞增，∴g（x）_max=g（3）=$\frac{10}{3}$+t．
?x₁∈R，?x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≤g（x₂），
∴g（x）_max≥f（x）_max，∴$\frac{10}{3}$+t≥2，解得$t≥-\frac{4}{3}$．
則實(shí)數(shù)t的取值范圍是$[-\frac{4}{3}，+∞）$．
故答案為：$[-\frac{4}{3}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．