Question

如圖2-5-6,已知PA切⊙O于A,割線PBC交⊙O于B、C兩點,PD⊥AB于D,PD、AO的延長線相交于E,連結(jié)CE并延長交⊙O于F,連結(jié)AF.

圖2-5-6

（1）求證:△PBD∽△PEC;

（2）若AB＝12,tan∠EAF＝,求⊙O的半徑.

Answer 1

思路解析:在（1）中,要證相似的兩個三角形已經(jīng)有一個角相等,只要再證其夾邊對應(yīng)成比例即可,而這可由△PAD∽△PEA得到;在（2）中,已知tan∠EAF＝,所以需構(gòu)造直角三角形,從而運(yùn)用三角函數(shù)求解.

(1)證明:由切割線定理,得PA²＝PB·PC.?

由△PAD∽△PEA,得PA²＝PD·PE,?

∴PB·PC＝PD·PE.又∠BPD為公共角,?

∴△PBD∽△PEC.

(2)解:作OG⊥AB于G,由△PBD∽△PEC可得∠CEP＝∠F,

∴PE∥AF.

又OG⊥AB于G,∴AG ＝AB＝6.

∴OG∥ED∥FA.∴∠AOG＝∠EAF.

?Rt△AOG中,tan∠AOG＝,又=,∴OG＝9.

由勾股定理,AG²+OG²＝AO²,?

∴＝.?

∴⊙O半徑長為.