Question

等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0,a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)，已知數(shù)列a₁,a₃,a_k, a_k,…, a_k,…成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)k_n;

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n.

Answer 1

（1）k_n¹=3ⁿ⁺¹（2）S_n=-

解析:

（1）由已知得(a₁+d)²=a₁·(a₁+3d),解得a₁=d或d=0（舍去），所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)是a_n=nd,因?yàn)閿?shù)列a₁,a₃,a_k,a_k,…,a_k,…成等比數(shù)列，即數(shù)列d,3d,k₁d,k₂d,…,k_nd,…成等比數(shù)列，其公比q==3,k₁d=3²d,故k₁=9,所以數(shù)列{k_n}是以k₁=9為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，故k_n=9×3^n-1=3ⁿ⁺¹.

(2)S_n=+++…+                                                 ①

S_n=+++…++                                        ②

①-②并整理得S_n=-.