Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長(zhǎng)都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=90°．M是BB₁的中點(diǎn)，N在BD上，3BN=ND
（Ⅰ）證明：MN∥平面A₁DC₁；
（Ⅱ）求二面角D-A₁A-C的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)H，BC的中點(diǎn)G，可以先得HG∥平面DA₁C₁以及可證得MG∥平面DA₁C₁，進(jìn)而得到平面MGH∥平面DA₁C₁
從而得到結(jié)論；
（Ⅱ）先根據(jù)條件得到∠DAC是二面角D-A₁A-C的平面角；在通過求其邊長(zhǎng)即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)H，BC的中點(diǎn)G，連接MH、HG、MG，
∵3BN=ND∴N是OB的中點(diǎn)
∴MG過N點(diǎn)∵HG∥AC，AC∥A₁C₁
∴HG∥A₁C₁  
又∵HG不在平面DA₁C₁，A₁C₁?平面DA₁C₁
∴HG∥平面DA₁C₁
同理可證得MG∥平面DA₁C₁  
又∵M(jìn)G∩HG=G
∴平面MGH∥平面DA₁C₁
∵M(jìn)N?平面MGH
∴MN∥平面DA₁C…（7分）
（Ⅱ）∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD 且兩平面的交線為AC，又∠A₁AC=90°
∴A₁A⊥平面ABCD
∴A₁A⊥AC，A₁A⊥AD
∴∠DAC是二面角D-A₁A-C的平面角
∵四邊形ABCD是菱形   且∠ABC=60°，
∴∠BAC=120°，又因?yàn)榱庑螌?duì)角線平分內(nèi)角，
∴∠DAC=60°
∴二面角D-A₁A-C的大小為60⁰．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察與二面角以及線面平行得證明有關(guān)的立體幾何綜合題．一般在證明線面平行時(shí)，轉(zhuǎn)化為證面面平行．