Question

某港口的水深y（m）是時(shí)間t （0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，下表是該港口某一天從0：00時(shí)至24：00時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系：

t（h）	0：00	3：00	6：00	9：00	12：00	15：00	18：00	21：00	24：00
y（m）	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間的觀察，水深y與t的關(guān)系可以用y=Asin（ωx+ϕ）+h擬合．根據(jù)當(dāng)天的數(shù)據(jù)，完成下面的問(wèn)題：
（1）求出當(dāng)天的擬合函數(shù)y=Asin（ωx+ϕ）+h的表達(dá)式；
（2）如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，船舶安全航行時(shí)船底與海底的距離不少于4.5m．那么該船在什么時(shí)間段能夠進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間．（忽略離港所需時(shí)間）
（3）若某船吃水深度為8m，安全間隙（船底與海底的距離）為2.5．該船在3：00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.5m的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，駛向較安全的水域？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，，可得A=3，h=10，由T=15-3=12，可求ω=將點(diǎn)（3，13）代入可得ϕ=0，從而可求函數(shù)的表達(dá)式；
（2）由題意，水深y≥4.5+7，即，從而可求t∈[1，5]或t∈[13，17]；
（3）設(shè)在時(shí)刻x船舶安全水深為y，則y=10.5-0.5（x-3）（x≥3），若使船舶安全，則，從而可得3≤x≤7，即該船在7：00必須停止卸貨，駛向較安全的水域．
解答：解：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，，
∴A=3，h=10，
T=15-3=12，
∴，
∴y=3sin（x+ϕ）+10
將點(diǎn)（3，13）代入可得ϕ=0
∴函數(shù)的表達(dá)式為
（2）由題意，水深y≥4.5+7，
即，
∴，，
∴t∈[1，5]或t∈[13，17]；
所以，該船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全進(jìn)港．
若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)16小時(shí)．
（3）設(shè)在時(shí)刻x船舶安全水深為y，則y=10.5-0.5（x-3）（x≥3），
這時(shí)水深，
若使船舶安全，則，
即，
∴3≤x≤7，
即該船在7：00必須停止卸貨，駛向較安全的水域．
點(diǎn)評(píng)：本題以表格數(shù)據(jù)為載體，考查三角函數(shù)模型的構(gòu)建，考查解三角不等式，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．