Question

已知函數(shù)f（x）=x³-4x²+5x-4．
（1）求曲線(xiàn)f（x）在x=2處的切線(xiàn)方程；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，-2）的曲線(xiàn)f（x）的切線(xiàn)方程．

Answer 1

（1）∵函數(shù)f（x）=x³-4x²+5x-4，
∴f′（x）=3x²-8x+5，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，則曲線(xiàn)f（x）在x=2處的切線(xiàn)的斜率為f′（2）=1，
又切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2），
由點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)方程為y-（-2）=1×（x-2），即x-y-4=0，
∴求曲線(xiàn)f（x）在x=2處的切線(xiàn)方程為x-y-4=0；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P（a，a³-4a²+5a-4），
由（1）可知，f′（x）=3x²-8x+5，
則切線(xiàn)的斜率為f′（a）=3a²-8a+5，
由點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)方程為y-（a³-4a²+5a-4）=（3a²-8a+5）（x-a），①
又根據(jù)已知，切線(xiàn)方程過(guò)點(diǎn)A（2，-2），
∴-2-（a³-4a²+5a-4）=（3a²-8a+5）（2-a），即a³-5a²+8a-4=0，
∴（a-1）（a²-4a+4）=0，即（a-1）（a-2）²=0，
解得a=1或a=2，
將a=1和a=2代入①可得，切線(xiàn)方程為y+2=0或x-y-4=0，
故經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，-2）的曲線(xiàn)f（x）的切線(xiàn)方程為y+2=0或x-y-4=0．